buktikan: tan 20 tan 40 tan 80 = akar 3

Materi : Trigonometri

tan 20 tan 40 tan 80 = √3

Pergunakan identitas trigonometri untuk fungsi tangen yaitu sin / cos, maka :

[tex]\tan{20}\tan{40}\tan{80}=\frac{\sin{20}\sin{40}\sin{80}}{\cos{20}\cos{40}\cos{80}}[/tex]

Kita selesaikan satu persatu agar lebih mudah.

* sin 20 sin 40 sin 80 = (sin 80 sin 20)sin 40

Ingat rumus hasil kali sinus, dengan menggunakan rumus itu, akan diperoleh :

[tex]\sin{80}\sin{20}\sin{40}=\frac{1}{2}\left[\cos{(80-20)}-\cos{(80+20)}\right]\sin{40}\\=\frac{1}{2}\left[\cos{60}-\cos{100}\right]\sin{40}=\frac{1}{4}\sin{40}-\frac{1}{2}\cos{100}\sin{40}\\[/tex]

Gunakan rumus hasil kali cos dan sin pada cos 100 sin 40, sehingga :

[tex]\frac{1}{4}\sin{40}-\frac{1}{2}\cos{100}\sin{40}=\frac{1}{4}\sin{40}-\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}(\sin{(100+40)}-\sin{(100-40)})\right]\\=\frac{1}{4}\sin{40}-\frac{1}{4}\sin{140}+\frac{1}{4}\sin{60}=\frac{1}{4}(\sin{40}-\sin{140})+\frac{1}{8}\sqrt{3}[/tex]

Gunakan rumus selisih sinus, diperoleh :

[tex]\frac{1}{4}(\sin{40}-\sin{140})+\frac{1}{8}\sqrt{3}=\frac{1}{4}\left[2\cos{\frac{1}{2}(40+140)}\sin{\frac{1}{2}(40-140)}\right]+\frac{1}{8}\sqrt{3}=-\frac{1}{2}\cos{90}\sin{50}+\frac{1}{8}\sqrt{3}=\frac{1}{8}\sqrt{3}[/tex]

** cos 20 cos 40 cos 80 = (cos 80 cos 20)cos 40

Gunakan rumus hasil kali kosinus, diperoleh :

[tex]\cos{80}\cos{20}\cos{40}=\frac{1}{2}\left[\cos{(80+20)}+\cos{(80-20)}\right]\cos{40}\\=\frac{1}{2}\left[\cos{100}+\cos{60}\right]\cos{40}=\frac{1}{2}\cos{100}\cos{40}+\frac{1}{4}\cos{40}[/tex]

Gunakan rumus hasil cos lagi

[tex]\frac{1}{2}\cos{100}\cos{40}+\frac{1}{4}\cos{40}=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}(\cos{(100+40)}+\cos{(100-40)})\right]+\frac{1}{4}\cos{40}\\=\frac{1}{4}\cos{140}+\frac{1}{4}\cos{60}+\frac{1}{4}\cos{40}=\frac{1}{8}+\frac{1}{4}(\cos{140}+\cos{40})[/tex]

Gunakan rumus jumlah kosinus, diperoleh :

[tex]\frac{1}{8}+\frac{1}{4}(\cos{140}+\cos{40})=\frac{1}{8}+\frac{1}{4}\left[2\cos{\frac{1}{2}(140+40)}\cos{\frac{1}{2}(140-40)}\right]\\=\frac{1}{8}+\frac{1}{2}\cos{90}\sin{50}=\frac{1}{8}[/tex]

Selanjutnya substitusi ke identitas kita semula, sehingga :

[tex]\tan{20}\tan{40}\tan{80}=\frac{\sin{20}\sin{40}\sin{80}}{\cos{20}\cos{40}\cos{80}}=\frac{\frac{1}{8}\sqrt{3}}{\frac{1}{8}}=\sqrt{3}[/tex] (terbukti)

Semoga membantu.